Kartesisches Produkt

Published: 15.01.2020 | 226 Words | 2 minutes
Tags: [ math kreuzprdukt ]

Das Kartesische Produkt ist das Resultat, einer Kombination der Elemente einer oder mehrerer Mengen. Dabei wird jedes Element einer Menge mit jedem Element der anderen Menge(n) in Beziehung gesetzt. Es ist definiert durch:

$$ A \times B =_{def} { (a, b) | a \in A \land b \in B } $$

Die Elemente (a, b) nennt man ein geordnetes Paar. Anders als bei Menge ist die Reihenfolge der Elemente wichtig. Aus der Definition der Gleichheit für das Kartesische Produkt:

$$ (a, b) = (a', b') \Leftrightarrow_{def} a = a' \land b = b' $$ $$ (a, b) \neq (b, a) $$

In Worten: (a, b) ist gleich wie (a', b') genau dann wenn a und a' das gleich sind und b und b' das gleiche sind.

Bsp:

$$ (1, 2) \neq (2, 1) \: aber \: (1, 2) = (1, 2) $$

Wenn die Mengen, aus denen das Kartesische Produkt gebildet wird, gleich sind gibt es eine abgekürzte Schreibweise:

$$ Wenn \: A = B, \: dann \: A \times B \equiv A \times A \equiv A^2 $$

Das Kartesische Produkt kann auch auf mehr als zwei Mengen gebildet werden:

$$ M_1 \times M_2 \times ... \times M_n \equiv (m_1, m_2, ... , m_n) $$

Kartesische Produkte sind assoziativ, dass bedeutet die Klammerung kann vernachlässigt werden.

$$ M_1 \times M_2 \times M_3 \equiv ((m_1, m_2), m_3) \equiv (m_1, m_2, m_3) $$
That's all ;)
Back to the top