Partielle Ordnung

Published: 26.01.2020 | 294 Words | 2 minutes
Tags: [ ordnungsrelation math ]

Die Partielle Ordnung ist das Ergebnis einer Homogenen Relation die folgende Eigenschaften erfüllt:

Die Relation ist reflexiv

$$ \forall a \in A. a \sqsubseteq a $$

Für jedes Element aus der Menge A gibt es im Bildbereich der Relation einen Tupel der Form (a,a). Das Bedeutet jedes Element wird mit der Identitätsrelation mit sich selbst in Verbindung gesetzt.

Die Relation ist antisymmetrisch

$$ \forall a_1, a_2 \in A. \ a_1 \sqsubseteq a_2 \land a_2 \sqsubseteq a_1 \rightarrow a_1 = a_2 $$

Wenn es in einer Relation das Ergebnis (a,b) und (b,a) gibt so müssen a und b die gleichen Elemente sein.

Die Relation ist transitiv

$$ \forall a_1, a_2, a_3 \in A. a_1 \sqsubseteq a_2 \land a_2 \sqsubseteq a_3 \rightarrow a_1 \sqsubseteq a_3 $$

Wenn ein Element a mit einem Element b in Relation steht, und b mit einem Element c in Relation steht, dann muss auch a mit c in Relation stehen.

Beispiele:

$$ M = \{1, 2, 3 \} \\ R = \{ (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3), (2,3) \} \\ $$
M ist die Menge auf der die Relation angewendet wird.
R ist der Bildbereich der Relation.

Die Relation ist reflexiv, weil für jedes Element aus M das Tupel der Identitätsrelation vorhanden ist (1,1), (2,2), (3,3)

Die Relation ist auch antisymmetrisch, da keine geordnetes Paare vorkommen auf die (a, b) und (b, a) zutrifft. Wären die Paare (1,2) und (2,1) in R enthalten, so wäre die Relation nicht mehr antisymmetrisch.

Die Relation ist außerdem auch noch transitiv, da für die geordneten Paare (1,2) und (2,3) nach Definition das Paar (1,3) in R enthalten sein muss.

Da alle drei Eigenschaften erfüllt sind handelt es sich bei der Relation um eine Partielle Ordnung.

That's all ;)
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