Relationen

Published: 15.01.2020 | 424 Words | 2 minutes
Tags: [ relationen math ]

Relationen stellen Elemente einer Menge in Beziehung zueinander. Die Anzahl der Elemente gibt die Wertigkeit der Relation an. Relationen die zwei Elemente in ein Beziehung stellen nennt man zweistellige Relationen oder auch Binäre Relationen. Bei einer Anzahl an n Elementen nennt man die Relation "n"-Stellige Relation.


n-stellige Relation

$$ Sei \: n \geq 1 \: und \: M_1, ..., M_n \: Mengen. \newline R \in M_1 \times ... \times M_n \: heißt \: n-stellige \: Relation \: auf \: M_1 \times ... \times M_n $$

Wenn n = 1 dann ist die Relation eine Teilmenge von M.

Homogene Relationen

Relationen auf denen der Argument- und Bildbereich gleich sind werden als Homogene Relationen bezeichnet dazu gehört z.B. =, <, > auf den reellen Zahlen.

Binäre Relationen

Binäre Relationen werden auch zweistellige Relationen genannt. Die Notation sieht meistens wie folgt aus:

$$ R \subseteq A \times B $$

Die Menge A wird als Argumentbereich und die Menge B als Bildbereich der Relation R bezeichnet.

Statt der oben gezeigten Schreibweise kann auch die Infixnotation -- aRb -- verwendet werden.

Umkehrrelation

Die Umkehrrelation vertauscht die Elemente in den geordneten Listen des Kartesischen Produktes.

$$ R^{-1} \in B \times A =_{def} {(b, a) | (a, b) \in R} $$

Produktrelationen

Wenn der Zielbereich einer Relation mit dem Argumentbereich einer anderen Relation übereinstimmt können diese verknüpft werden. Diese Verknüpfung nennt man Produktrelation.

$$ R_1 \odot R_2 =_{def} {(a,bc | \exist b \in B. (a, b) \in R_1 \land (b, c) \in R_2} $$

Eine Verknüpfung mit der Identitätsrelation verändert die verknüpfte Relation nicht.

$$ I_A =_{def} {(a, a) | a \in A}, \: \: R \subseteq A \times B \newline I_A \odot R = R = I_B $$

Rechts- und Linkseindeutigkeit

Eine Binäre Relation ist genau dann Rechtseindeutig, wenn kein Element des Argumentbereiches zwei Element im Bildbereich erreicht. Jedem Element links kann eindeutig ein Element rechtes zugeordnet werden.

Eine Binäre Relation ist genau dann Linkseindeutig, wenn kein Argument im Bildbereich von mehreren Elementen des Argumentbereiches erreicht wird. Zu jedem Element rechts kann eindeutig ein linkes Element zugeordnet werden.

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Funktionen

Ist eine Relation rechtseindeutig und linkstotal wird sie auch Funktion oder Abildung genannt. Die Relation erreicht also mit jedem Element des Zielbereiches genau ein Element im Bildbereich.

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